Tugas Matematika Informatika 3

Tugas Matinfo 10 Soal Logika Pembuktian

   1.   Buktikan, jika x bilangan ganjil maka x²  bilangan ganjil.

Pembahasan: Diketahui x ganjil, jadi dapat ditulis sebagai x = 2n-1 atau x=2n+1 untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya, x² = (2n - 1)² = 4n² + 4n + 1 = 2 (2n² + 2)+1= 2m + 1

Keterangan : 2n²+2 diibaratkan sebagai m, karena adanya sifat ketertutupan operasi penjumlahan pada himpunan semua bilangan bulat. Penjumlahan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat.

2. Terdapat implikasi : Jika 15 habis dibagi 3, maka 15 adalah bilangan ganjil. kemudian 15 habis dibagi 3. Kesimpulannya adalah

Pembahasan : Jika 15 habis dibagi 3, maka 15 adalah bilangan ganjil         (p → q)

15 habis dibagi 3                                                                    (p        )

∴   15 adalah bilangan ganjil                                                 (         q)

3. misalkan p(n) benar untuk semua bilangan positif n ≥ 1 untuk bilangan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1). p(n + 1) bernilai

Pembahasan : jika p(n + 1) benar, maka :

n = n + 1

2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)

2 + 4 + 6 + ... + 2n + 2(n + 1) = n + 1(n + 1 + 1)

2n + 2n + 2 = (n + 1) (n + 2)

2n + 2n + 2 = n (n + 1) + 2n + 2

                      = n² + n + 2n + 2

                      = n² + 3n + 2 

                      = (n + 1) (n + 2) Terbukti Benar.

4, Penyelesaian dari 6x + 8y = 21 dan 3x + 4y = 7 dengan metode eleminasi adalah

Pembahasan : 6x + 8y = 21   -->  6x + 8y = 21

                      3x + 4y = 7     -->  6x + 8y = 14  -(persamaan kedua dikalikan dengan 2)

                                                             0 = 7

5.Sebutkan 5 metode pembuktian

Pembahasan : 1.Metode Pembuktian langsung

                           2.Metode Pembuktian tak langsung

                           3.Metode Kontradiksi

                           4.Metode “Bukti Kosong”

                           5.Metode Pembuktian Trivial

6. Diberikan dua himpunan A dan B. Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B, ditulis A ∈ B jika pernyataan berikut dipenuhi : ”jika x ∈ A maka x ∈ B”. Suatu himpunan dikatakan himpunan kosong jika ia tidak mempunyai anggota. Buktikan, himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari himpunan apapun.

Pembahasan : Misalkan A = ∅ suatu himpunan kosong dan B himpunan sebarang. Kita akan tunjukkan bahwa pernyataan ”jika x ∈ A maka x ∈ B” bernilai benar. Karena A himpunan kosong maka pernyataan p yaitu x ∈ A selalu bernilai salah karena tidak mungkin ada x yang menjadi anggota himpunan kosong. Karena p salah maka terbuktilah kebenaran pernyataan ”jika x ∈ A maka x ∈ B”, yaitu A ∈ B. Karena B himpunan sebarang maka bukti selesai

7. Buktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n²

Pembahasan :

(i)  Basis Induksi: Untuk n = 1, Perhatikan 1 = 1²  (Benar).

(ii)  Langkah Induksi: Andaikan untuk n ≥ 1 pernyataan:

1 + 3 + … + (2n-1)  = n²  adalah suatu yang benar.

Akan ditunjukkan benar untuk 1 + 3 + … + (2n-1) + (2n +1) = (n + 1)²

Perhatikan bahwa 1 + 3 + … + (2n-1) + (2n +1)        = [1 + 3 + … + (2n-1)] + (2n +1)

                                                                        = n² + 2n + 1

                                                                        = (n+1)²

                  

8. Buktikan N³ + 2n adalah kelipatan 3 berlaku untuk n = 1 dan berlaku kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat postitif n

Pembahasan :

Untuk n = 1 akan diperoleh:13 + 2(1) = 3 yg merupakan kelipatan 3 (Berlaku)

Misalkan untuk n = k asumsikan k ³ + 2k = 3x

Untuk n = k + 1 berlaku          (k + 1)³ + 2(k + 1) adalah kelipatan 3

                                                            (k ³ + 3k ² + 3 k+1) + 2k + 2

                                                            (k ³ + 2k) + (3k ² + 3k + 3)

                                                            (k ³ + 2k) + 3 (k ² + k + 1)

                        Induksi                        3x + 3 (k ² + k + 1)

3 (x + k ² + k + 1)

                        Kesimpulan : N ³ + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat positif n (Berlaku kelipatan 3).

9.Buktikan 5 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2

Pembahasan : Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GANJIL jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga

n = 2k + 1.

5 = 2(2) + 1

5 = 4 + 1

5 = 5

10. Buktikan, jika 0 < x < 1 maka 0 < (1-x) .

Pembahasan : Bukti. Karena pernyataan q, yaitu 0 < (1-x) . selalu benar untuk setiap x bilangan real termasuk x di dalam interval (0, 1) maka secara otomatis kebenaran pernyataan ini terbukti.